Penyelesaian Umum Persamaan Difrensial Linear Non Homogen Dengan Metode Variasi Parameter

Dalam kehidupan sehari – hari, banyak masalah yang dapat dimodelkan dan dapat diselesaikan dalam bentuk persamaan diferensial. Untuk menyelesaikannya masalah tersebut kita perlu menyelesaikan pula persamaan diferensialnya sesuai dengan masalah yang diberikan. Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk suatu fungsi tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang menghubungkan nilai dari fungsi tersebut dengan turunannya sendiri pada berbagai derajat turunan (Ledder, 20050, p16). Secara matematis, persamaan differensial adalah persamaan yang didalamnya terdapat turunan-turunan. Secara fisis, persamaan differensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara turunan (derivative) dari satu variabel tak bebas terhadap satu/lebih variabel bebas. Pada umumnya persamaan diferensial terbagi menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Suatu persamaan differensial disebut persamaan differensial biasa, jika semua turunannya berkaitan dengan satu peubah saja, dan disebut persamaan differensial parsial, jika turunannya berkaitan dengan dua atau lebih peubah. Tentunya tak hanya itu saja, persamaan diferensial masih terbagi menjadi beberapa bagian, misalnya linier tak linier dan homogen non homogen. Dalam makalah ini akan dijelaskan tentang persamaan diferensial biasa, lebih khususnya persamaan diferensial linier non homogen. Persamaan diferensial linier tak homogen dapat diselesaikan dengan beberapa cara , metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter, dalam makalah ini akan dijelaskan tentang penyelesaian persamaan diferensial linier non homogen dengan metode variasi parameter. B. PERMASALAHAN Akan dicari penyelesaian umum dari persamaan diferensial linier non homogen berikut d²y/dx²+5dy/dx-2y=x dengan menggunakan metode variasi parameter ! C. PEMBAHASAN Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier non homogen, kita harus mengetahui bentuk umum dari persamaan diferensial tersebut. Ciri-ciri dari Persamaan Diferensial Linier adalah: Variabel terikat y dan derivatifnya hanya berderajat satu Tidak ada perkalian antara y dan derivatifnya Variable terikat bukan termasuk fungsi transenden, logaritma, trigonometri, exponensial Berikut adalah contoh – contoh persamaan diferensial linier : d²y/dx²+5dy/dx+6y=0, berikut adalah persamaan diferensial biasa linier orde 2 pangkat 1 dengan koefisien konstan. d³y/dx³+x² d²y/dx²+x³ dy/dx=xᵡe^x , berikut adalah persamaan diferensial orde 3 pangkat 1 dengan koefisien variabel, ada unsur exponen di persamaan diferensial tersebut, tetapi unsur exponen tersebut tidak mengandung unsur y atau perkalian terhadap y, jadi persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial linier. Bentuk Umum Persamaan Diferensial Non Homogen Jika diketahui ada persamaan diferensial yang F(x) ≠ 0, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial non homogen. Berikut adalah contoh – contoh persamaan diferensial non homogen : d²y/dx²+3dy/dx+2y=xe^x, pada persamaan diferensial tersebut F(x) ≠ 0 maka persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial non homogen. d²y/dx²+ 4y=e^3x, pada persamaan diferensial tersebut F(x) ≠ 0 maka persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial non homogen. Bentuk persamaan diferensial di atas disebut dengan PD(I) Bentuk persamaan di atas disebut dengan PD(II) yang merupakan bentuk Persamaan diferensial tereduksi dari PD (I) dan PD(II) adalah persamaan diferensial homogen Penyelesaian Umum dari PD(II) adalah Yc= C1Y1(x) + C2Y2(x) + …… + CnYn(x) Penyelesaian ini diselesaikan dengan langkah reduksi orde, yang akan diperoleh persamaan karateristik, faktor – faktor karateristik, dan akan diperoleh akar – akar karateristiknya. Penyelesaian Persamaan Diferensial Liner Tak Homogen adalah Y= Yc(x)+Yp(x) dengan Yc(x) adalah solusi PD homogen dan Yp(x) adalah solusi partikular/khusus PD tak homogen. Penyelesaian dari PD (I) adalah Y= Yc(x)+Yp(x), dengan Yp(x) adalah penyelesaian partikular yang dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter, kali ini akan diselesaikan Yp(x) dengan metode variasi parameter. Metode Variasi Parameter Yc= C1Y1(x) + C2Y2(x) + …… + CnYn(x) Untuk mencari Yp(x) , subtitusikan Ci dengan Vi, dengan i= 1,2,3, …. , n Menjadi : Yp(x) = V1(x)Y1(x) + V2(x)Y2(x) + ……… + Vn(x)Yn(x) Menjadi bentuk matriks yang elementnya adalah turunan dari Yp(x) V1`(x)Y1(x) + V2`(x)Y2(x) + …………………………. + Vn`(x)Yn(x) = 0 V1`(x)Y1(x) + V2`(x)Y2(x) + …………………………. + Vn`(x)Yn(x) = 0 Dan seterusnya sampai pada baris (n-1) kembali pada F(x) V1`(x)Y1(n-2)(x) + V2`(x)Y2(n-2)(x) + …………………………. + Vn`(x)Yn(n-2)(x) = 0 V1`(x)Y1(n-1)(x) + V2`(x)Y2(n-1)(x) + …………………………. + Vn`(x)Yn(n-1)(x) = F(x) Dengan menggunakan langkah eliminasi, akan didapatkan salah satu dari Vi`, kemudian untuk memperoleh Vi dapat dengan mengintegralkan Vi` Vi(x) =∫▒〖Vi`(x)dx〗 Setelah ditemukan Vi, maka disubtitusikan ke persamaan awal Yc(x), yang Ci nya sudah diganti dengan Vi, lalu ditemukan Yp(x) Yp(x) = V1(x)Y1(x) + V2(x)Y2(x) + ……… + Vn(x)Yn(x) Setelah ditemukan Yp(x), lalu di dapatkan Persamaan Umum dari persamaan diferensial tersebut, yaitu Y= Yc(x)+Yp(x) ANALISIS 1. d²y/dx²+5dy/dx-2y=x adalah persamaan linier orde 2 pangkat 1 dengan koefisien konstan. 2. Fx≠0, maka persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial non homogen. 3. Maka d²y/dx²+5dy/dx-2y=x adalah persamaan diferensial linier non homogen dengan orde 2 pangkat 1 dengan koefisien konstan. TINDAKAN d²y/dx²+5dy/dx-2y=x = PD tereduksinya adalah d²y/dx²+5dy/dx-2y=0 = [D2+5D-2]y= 0 = Persamaan karateristiknya adalah m²+m-2m= 0 = Faktor – faktor karateristiknya adalah (m+2)(m-1)= 0 = Akar akar karateristiknya adalah m1= -2, m2= 1 = Dari akar – akar karateristiknya, maka diperoleh Yc(x) = C1 e -2x + C2 e x, Ci disubtitusi dengan Vi, maka = Yp(x)=V1 e -2x + V2 e x, = V1` e -2x + V2` e x= 0 = -2V1` e -2x + V2` e x= x = 3 V1` e -2x= – x = V1`= (-x)/e^(-2x) = -1/3 xe^2x Disubtitusi ke persamaan V1` e -2x + V2` e x= 0 =-1/3 xe^2x.e^(-2x)+ V2` e x = 0 = V2` e x= 1/3 x = V2`= 1/3 xe^(-x) Mencari Vi dengan Vi(x) =∫▒〖Vi`(x)dx〗 V1(x) =∫▒〖V₁`(x)dx〗 = ∫▒〖-1/3 xe^2x dx〗 = – 1/3 ∫▒〖u dv〗 = – 1/3 [uv-∫▒〖v du〗] = – 1/3 [x 1/2 e^2x-∫▒〖 1/2 e^2x.1〗] = – 1/3 [x 1/2 e^2x-1/4 e^2x ] = -1/6 xe^2x+ 1/12 e^2x V2(x) =∫▒〖V₂`(x)dx〗 = ∫▒〖1/3 xe^(-x) dx〗 = 1/3 ∫▒〖u dv〗 = 1/3 [uv-∫▒〖v du〗] = 1/3 [x.-e^x-∫▒〖-e^(-x).1〗] = 1/3 [-xe^(-x)-e^(-x) ] = – 1/3 xe^(-x)- 1/3 e^(-x) Yp(x) = V1` e -2x + V2` e x = [-1/6 xe^2x+ 1/12 e^2x ]e -2x+ [ – 1/3 xe^(-x)- 1/3 e^(-x) ] e x = [-1/6 x+1/12]+ [-1/3 x-1/3] = [-1/6 x+1/12]- [1/3 x+1/3] = -1/2 x-1/4 Penyelesaian Umumnya : Y=Yc(x)+Yp(x) Y = C1 e -2x + C2 e x -1/2 x-1/4 D. PENUTUP Dari permasalahan yang diajukan dan berdasarkan hasil analisis yang dilanjutkan dengan tindakan, diperoleh penyelesaian umum dari persamaan diferensial linier non homogen d²y/dx²+5dy/dx-2y=x yaitu Y = C1 e -2x+ C2 e x -1/2 x-1/4